REGLA DE TRES

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS AGROPECUARIAS

DANIEL STIVEN SANCHEZ HERRERA

 JOAN SEBASTIAN SANTOFIMIO HERRERA

JUAN CARLOS ROJAS CELIS  

INTRODUCCIÓN 

Este presente trabajo lo hago con el fin de aprender sobre donde provienen los números enteros y lo muy importante que son las  matemáticas con este tema podemos comprender mas de lo que nos requieren en los conjuntos numéricos es un gran tema de utilidad y nos pueden ayudar a comprender todo lo relacionado con el tema presentado. 

      

REGLA DE TRES 

 La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad  (proporcionalidad) entre los valores involucrados.Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. ¿Qué es la regla de 3 simple?La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa.Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad.Regla de 3 simple directaEmpezaremos viendo cómo aplicarla en casos de proporcionalidad directa.Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos “a”, “b” y “c”) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la siguiente fórmula.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

${\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {Y}{X}}=k}$

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow &B\\X&\longrightarrow &Y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {B\cdot X}{A}}}$

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.

ejemplo

se necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuantos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así

 Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:

${\displaystyle A\cdot B=X\cdot Y=e}$

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow &B\\X&\longrightarrow &Y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {A\cdot B}{X}}}$

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.

ejemplos

Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuantos tardara 5 trabajadores en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

$$

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}8\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &15\;{\text{horas}}\\5\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &Y\;{\text{horas}}\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}}{5\;{\text{trabajadores}}}}=24\;{\text{horas}}}$ 

Regla de tres compuesta 

En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida. Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa.

El problema se enunciaría así:

100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas y Y trabajadores.

La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).

Formalmente el problema se plantea así:

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\longrightarrow &B\longrightarrow &C\\X&\longrightarrow &Z\longrightarrow &Y\end{matrix}}}$

• La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}A&\longrightarrow &C\\X&\longrightarrow &Y\end{matrix}}\right\}\quad \longrightarrow \quad Y={\frac {X\cdot C}{A}}}$

• A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}B&\longrightarrow &C\\Z&\longrightarrow &Y\end{matrix}}\right\}\quad \longrightarrow \quad Y={\frac {B\cdot C}{Z}}}$

• A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):

${\displaystyle Y={\frac {X\cdot B\cdot C}{A\cdot Z}}}$

lo que nos da la solución buscada.

El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.

Ejemplos 

• Para pasar 60 grado o radianes  podríamos establecer la siguiente regla de tres:

Ubicamos la incógnita en la primera posición:

${\displaystyle {\begin{matrix}180^{\circ }&\longrightarrow &\pi \;{\text{radianes}}\\60^{\circ }&\longrightarrow &X\;{\text{radianes}}\end{matrix}}}$

Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:

${\displaystyle X={\frac {\pi \;{\text{radianes}}\cdot 60^{\circ }}{180^{\circ }}}={\frac {\pi }{3}}\;{\text{radianes}}}$

Donde π es el numero π.

Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está cruzado con X.

• Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

${\displaystyle {\begin{matrix}1\;{\text{hora}}&\longrightarrow &60\;{\text{minutos}}\\7\;{\text{horas}}&\longrightarrow &X\;{\text{minutos}}\end{matrix}}}$

El resultado es:

${\displaystyle X={\frac {60\;{\text{minutos}}\cdot 7\;{\text{horas}}}{1\;{\text{hora}}}}=420\;{\text{minutos}}}$