MATEMATICAS: CONJUNTO NUMÉRICO Y PORCENTAJE

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS AGROPECUARIAS

DANIEL STIVEN SANCHEZ HERRERA

JOAN SEBASTIAN SANTOFIMIO HERRERA

JUAN CARLOS ROJAS CELIS

NÚMEROS NATURALES

Un conjunto puede ser finito o infinito, cuando se trata de un conjunto infinito, sus elementos son incontables, pero cuando se trata de un conjunto finito, significa que sus elementos son contables y pueden ser referidos por los números naturales sin importar el orden dentro del conjunto. Sin embargo, el orden de los números naturales siempre será el mismo.

El conjunto de los números naturales se representa con la letra NN, y utiliza el sistema decimal como forma de notación básica, aunque puede ser traducido a otros sistemas como el binario o el hexadecimal. Esto se debe a que el sistema decimal es la más extendida forma para escribir cualquier cantidad. Por lo tanto, los números naturales sirven para contar las cosas que existen en el universo, y a partir de las primeras diez cifras, puede definir todas las numeraciones siguientes y en el orden en que se presentan. De esta manera:

N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

EJERCICIOS

327 + 881 = 1.208

3495 − 4.121 = 626

28 035: 623 =45

32 100: 321 =100

CONJUNTO NUMÉRICOS

1) Conjunto de los Números Naturales (N).

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

· Tiene un número infinito de elementos

· Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

· El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) Conjunto de los Números Cardinales (N*).

N* = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)

Q+ = {0, ½, 2, 3/4 3, 9/7,.....}

Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto.

Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

4) Conjunto de los Números Enteros (Z).

Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).

Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos.

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

· Enteros Negativos: Z ¯

· Enteros Positivos: Z +

· Enteros Positivos y el Cero: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Z = Z - U {0} U Z +

5) Conjunto de los Números Racionales Q.

Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....}

El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.

Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los números racionales (Q) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = {a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0}

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

6) Conjunto de Números Irracionales (I).

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

7) Conjunto de Números Reales (R).

R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, √2, 5,.....}

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.

8) Conjunto de Números Imaginarios (i)

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.

Debes tener en cuenta:

i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.

9) Conjunto de Números Complejos (C)

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.

PORCENTAJE

El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.¹ ² Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:

El símbolo de porcentaje y, operando:

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

640 unidades en total.

El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.

EJERCICIOS:

1) Halla el 15 % de 120.

Dividimos 15 entre 100 à 15 : 100 =0,15

Multiplicamos 120 por el porcentaje en forma

Decimal

120 * 0,15 = 18

2) El 20 % de una cantidad es 30. ¿Cuál es dicha

Cantidad?

Pasamos el 20 % a forma decimal 20: 100 = 0.20

Dividimos la parte entre el porcentaje

30: 0.20 =150

REGLE DE TRES

INTRODUCCIÓN

Este presente trabajo lo hago con el fin de aprender sobre donde provienen los números enteros y lo muy importante que son las matemáticas con este tema podemos comprender mas de lo que nos requieren en los conjuntos numéricos es un gran tema de utilidad y nos pueden ayudar a comprender todo lo relacionado con el tema presentado.

REGLA DE TRES

La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. ¿Qué es la regla de 3 simple?La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa.Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad.Regla de 3 simple directaEmpezaremos viendo cómo aplicarla en casos de proporcionalidad directa.Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos “a”, “b” y “c”) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la siguiente fórmula.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

\frac{B}{A} = \frac{Y}{X} = k

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{B \cdot X}{A}

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.

ejemplo

se necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuantos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así

\left . \begin{array}{ccc} 2 \; \text{habitaciones} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\ 5 \; \text{habitaciones} & \longrightarrow & Y \; \text{litros} \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitaciones} }{2 \; \text{habitaciones} } = 20 \; litros

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:

A \cdot B = X \cdot Y = e

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.

ejemplos

Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuantos tardara 5 trabajadores en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}=5\;{\text{trabajadores}}\cdot Y\;{\text{horas}}=120\;{\text{horas de trabajo}}

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

\left.{\begin{array}{ccc}8\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &15\;{\text{horas}}\\5\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &Y\;{\text{horas}}\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}}{5\;{\text{trabajadores}}}}=24\;{\text{horas}}

Regla de tres compuesta

En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida. Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa.

El problema se enunciaría así:

100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas y Y trabajadores.

La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).

Formalmente el problema se plantea así:

\begin{matrix} A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\ X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y \end{matrix}

La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:

\left . \begin{matrix} A & \longrightarrow & C \\ X & \longrightarrow & Y \end{matrix} \right \} \quad \longrightarrow \quad Y = \frac{X \cdot C}{A}

A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:

\left.{\begin{matrix}B&\longrightarrow &C\\Z&\longrightarrow &Y\end{matrix}}\right\}\quad \longrightarrow \quad Y={\frac {B\cdot C}{Z}}

A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):

Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}

lo que nos da la solución buscada.

El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.

Ejemplos

Para pasar 60 grado o radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:

Ubicamos la incógnita en la primera posición:

${\begin{matrix}180^{\circ }&\longrightarrow &\pi \;{\text{radianes}}\\60^{\circ }&\longrightarrow &X\;{\text{radianes}}\end{matrix}}$

Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:

$X={\frac {\pi \;{\text{radianes}}\cdot 60^{\circ }}{180^{\circ }}}={\frac {\pi }{3}}\;{\text{radianes}}$

Donde π es el numero π.

Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está cruzado con X.

Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

{\begin{matrix}1\;{\text{hora}}&\longrightarrow &60\;{\text{minutos}}\\7\;{\text{horas}}&\longrightarrow &X\;{\text{minutos}}\end{matrix}}

El resultado es:

X={\frac {60\;{\text{minutos}}\cdot 7\;{\text{horas}}}{1\;{\text{hora}}}}=420\;{\text{minutos}}

$INGLES$

Graph of a numeric set:

We have said that the graph of a real number is a point in the linear coordinate system, so the graph of a set of numbers will be a set of points. Some number sets can be expressed symbolically using the absolute value.

EXAMPLES OF GRAPHICS OF A NUMERICAL SET:

A) I x I3, will be interpreted as the set of points that are 3 units of origin. I x I = 3 ⇔ x = 3 or x = -3

Solution: {3} U {-3} = {3, -3}

Graph:

b (X + 1) = 5, can be interpreted as the set of points that are at 5 units of - 1 (x + I) = (x - (- 1)) = 5

(X + 1) = 5x + 1 = 5 or x + 1 = -5

Solution: {x Ix - (- 1) I = 5} = {xlx + 1 = 5 or x + 1 = -5} = {4, -6}

Graph:

COMPLEX NUMBERS

Complex numbers are algebraic combinations of numbers

Real with imaginary numbers.

Why do imaginary numbers arise?

Roots of negative index coupled roots have no response in R.

To solve this problem, the number j is created.

Ejemplos:

1 + i 12-3.1i 0.85-2i π + πi √2 + i/2

ACERTIJO

In a bus goes: the driver and 5 children each child carries 5 boxes in each box go 5 cats and each cat has 5 kittens

How many legs and legs are there inside the bus?

Resultado de imagen para imagenes del bus animados

PRODUCTO NOTABLE

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

EJEMPLOS:

1(x + 5)² =

= x² + 2 · x · 5 + 5² =

= x ² + 10 x + 25

2(2x + 5)² =

= (2x)² + 2 · 2x ·5 + 5² =

= 4x² + 20 x + 25

3(2x − 5)² =

= (2x)² - 2 · 2x ·5 + 5² =

= 4x² − 20 x + 25